标题： Bi-degree$(d,d)$样条空间在分层 T-网格上的最高光滑度维度 显示英文标题

标题： Dimension of Bi-degree $(d,d)$ Spline Spaces with the Highest Order of Smoothness over Hierarchical T-Meshes

摘要： 在本文中，我们研究了在分层 T-网格$\mathscr T$上，具有最高光滑阶数的双次数$(d,d)$样条空间的维数，使用了平滑因子相容性方法。 首先，我们得到了张量积 T-连通部件上的相容性向量空间的维数公式。 然后，我们证明了在张量积细分下，分层 T-网格的 T-连通部件上的相容性向量空间的维数可以递归计算。 结合这两方面，我们得到了在适度假设下，分层 T-网格$\mathscr T$上具有最高光滑阶数的双次数$(d,d)$样条空间的维数公式。 此外，我们提供了一种策略，以修改任意分层 T-网格，使得修改后的分层 T-网格上双次数$(d,d)$样条空间的维数是稳定的。 最后，我们证明了这种分层 T-网格上的样条空间的维数与其 CVR 图上低次数样条空间的维数相同。 因此，所提出的解决方案为后续构建这种分层 T-网格上的样条空间基函数奠定了基础。 显示英文摘要

摘要： In this article, we study the dimension of the spline space of di-degree $(d,d)$ with the highest order of smoothness over a hierarchical T-mesh $\mathscr T$ using the smoothing cofactor-conformality method. Firstly, we obtain a dimensional formula for the conformality vector space over a tensor product T-connected component. Then, we prove that the dimension of the conformality vector space over a T-connected component of a hierarchical T-mesh under the tensor product subdivision can be calculated in a recursive manner. Combining these two aspects, we obtain a dimensional formula for the bi-degree $(d,d)$ spline space with the highest order of smoothness over a hierarchical T-mesh $\mathscr T$ with mild assumption. Additionally, we provide a strategy to modify an arbitrary hierarchical T-mesh such that the dimension of the bi-degree $(d,d)$ spline space is stable over the modified hierarchical T-mesh. Finally, we prove that the dimension of the spline space over such a hierarchical T-mesh is the same as that of a lower-degree spline space over its CVR graph. Thus, the proposed solution can pave the way for the subsequent construction of basis functions for spline space over such a hierarchical T-mesh.