标题： 最小环面在$\mathbb{R}^4$ 显示英文标题

标题： Minimal tori in $\mathbb{R}^4$

摘要： 我们描述了研究 $\mathbb{R}^4$中极小曲面的工具；一些是经典的（高斯映射），一些是较新的（在无穷远处的链接/辫子/扭结）。 然后我们寻找具有总曲率 $-8\pi$并且在 $\mathbb{R}^4$中浸入单个端点的完备适当非全纯极小环面。 我们将这个问题转化为 $10$个二次或线性方程组，包含 $11$个实变量，系数用魏尔斯特拉斯函数 $\wp$表示，并在 $T$是矩形环面时给出这些方程的显式解。 对于正方形环面，我们有一个完整的答案，其中包含一个唯一的解族，该解族推广了$\mathbb{R}^3$中的 Chen-Gackstetter 环面。另一方面，我们证明在等幅环面上没有解。 显示英文摘要

摘要： We describe tools for the study of minimal surfaces in $\mathbb{R}^4$; some are classical (the Gauss maps) and some are newer (the link/braid/writhe at infinity). Then we look for complete proper non holomorphic minimal tori with total curvature $-8\pi$ and a single end immersed in $\mathbb{R}^4$. We translate the problem into a system of $10$ quadratic or linear equations in $11$ real variables with coefficients in terms of the Weierstrass function $\wp$ and give explicit solutions for these equations if $T$ is a rectangular torus. For the square torus, we have a complete answer with a unique family of solutions generalizing the Chen-Gackstetter torus in $\mathbb{R}^3$. On the other hand, we show that there is no solution on the equianharmonic torus.