标题： 带重数的炮弹多边形 显示英文标题

标题： Cannonball Polygons with Multiplicities

摘要： 我们通过引入整数值且非递增的算术函数$w$来推广弹丸问题。 我们将这些函数$w$与某些多边形相关联，我们称其为弹丸多边形。 通过这种对应关系，我们证明对于任何$Z\in\mathbb{N}$，都存在一个重数为 8 且最长边长度为$Z$的弹丸多边形。 此外，对于任何大于 8 的重数$s$，我们提供了具有重数$s$的不同类别的弹丸多边形数量的渐近公式。 显示英文摘要

摘要： We generalize the Cannonball Problem by introducing integer-valued and non-increasing arithmetic functions $w$. We associate these functions $w$ with certain polygons, which we call cannonball polygons. Through this correspondence, we show that for any $Z\in\mathbb{N}$, there exists a cannonball polygon with multiplicity 8 and largest side of length $Z$. Moreover, for any multiplicity $s$ greater than 8, we provide an asymptotic formula for the number of distinct classes of cannonball polygons with multiplicity $s$.