标题： 新双曲类型度量的几何性质 显示英文标题

标题： Geometric properties of a new hyperbolic type metric

摘要： 在度量空间$(X,d)$中引入一个新的距离函数$\tilde{S}_{G,c}$，定义为\begin{align*} &\tilde{S}_{G,c}(x,y)=\log{\left(1+\frac{cd(x,y)}{\sqrt{1+d(x)}\sqrt{1+d(y)}}\right)} \end{align*}，其中$x$、$y\in X$和$c$是任意正实数。 我们发现$\tilde{S}_{G,c}$是一个度量$c\ge 2$。 一般来说，条件$c\geq2$不能得到改进。 在本文中，我们研究了度量$\tilde{S}_{G,c}$的一些几何性质，包括该度量与三角比度量之间的比较不等式以及一些度量球之间的包含关系。 我们展示了在度量$\tilde{S}_{G,c}$中的一个双利普希茨映射的拟共形性，以及单位球的莫比乌斯变换下度量$\tilde{S}_{\partial\mathbb{B}^n,c}$的畸变性质。 显示英文摘要

摘要： A new distance function $\tilde{S}_{G,c}$ in metric space $(X,d)$ is introduced as \begin{align*} &\tilde{S}_{G,c}(x,y)=\log{\left(1+\frac{cd(x,y)}{\sqrt{1+d(x)}\sqrt{1+d(y)}}\right)} \end{align*} for $x$, $y\in X$ and $c$ is an arbitrary positive real number. We find that $\tilde{S}_{G,c}$ is a metric for $c\ge 2$. In general, the condition $c\geq2$ can not be improved. In this paper we investigate some geometric properties of the metric $\tilde{S}_{G,c}$ including the comparison inequalities between this metric and the triangular ratio metric and the inclusion relation between some metric balls. We show the quasiconformality of a bilipschitz mapping in metric $\tilde{S}_{G,c}$ and the distortion property of the metric $\tilde{S}_{\partial\mathbb{B}^n,c}$ under M\"obius transformations of the unit ball.