标题： Grushin空间上的测地线 显示英文标题

标题： Geodesics on Grushin spaces

摘要： 我们考虑$\alpha$-Grushin 平面的高维推广，重点研究最小化长度的测地线的分类问题，也称为最优综合。 通过使用广义三角函数的微积分，在这些空间上求解哈密顿方程，我们得到了从黎曼点出发的测地线的显式共轭时间。 从测地线结构中的对称性出发，我们提出了一个猜想的截断时间，并证明该时间提供了第一个共轭时间的上界，这是扩展的 Hadamard 技术中的关键步骤。 在三维情况下，我们将此方法与密度论证相结合，以确立该猜想。 显示英文摘要

摘要： We consider higher-dimensional generalizations of the $\alpha$-Grushin plane, focusing on the problem of classification of geodesics that minimize length, also known as optimal synthesis. Solving Hamilton's equations on these spaces using the calculus of generalized trigonometric functions, we obtain explicit conjugate times for geodesics starting at a Riemannian point. From symmetries in the geodesic structure, we propose a conjectured cut time, and prove that it provides an upper bound on the first conjugate time, a key step in the extended Hadamard technique. In the three-dimensional case, we combine this method with a density argument to establish the conjecture.