代数拓扑

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显示 2025年06月06日， 星期五 新的列表

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[1] arXiv:2506.04720 [中文pdf, pdf, html, 其他]

标题： 关于$GL_2(\mathbb{Z}/p^n)$和$SL_2(\mathbb{Z}/p^n)$的模态上同调 显示英文标题

标题： On the modular cohomology of $GL_2(\mathbb{Z}/p^n)$ and $SL_2(\mathbb{Z}/p^n)$

Anja Meyer

主题： 代数拓扑 (math.AT)

设 $p$ 为一个奇素数。 分别用 $S_p(n,GL)$ 和 $S_p(n,SL)$ 表示 $GL_2(\mathbb{Z}/p^n)$ 和 $SL_2(\mathbb{Z}/p^n)$ 的 Sylow $p$-子群。 稳定元素理论告诉我们，有限群的模-$p$上同调由其 Sylow$p$-子群的模-$p$上同调中的稳定元素给出。 我们证明了对于合适的$S_p(n,GL)$和$S_p(n,SL)$的群扩张，这些扩张对应的 Lyndon-Hochschild-Serre 谱序列的$E_2$-页不依赖于$n>1$。 最后，我们利用融合系理论描述了稳定的元素环。 显示英文摘要

Let $p$ be an odd prime. Denote a Sylow $p$-subgroup of $GL_2(\mathbb{Z}/p^n)$ and $SL_2(\mathbb{Z}/p^n)$ by $S_p(n,GL)$ and $S_p(n,SL)$ respectively. The theory of stable elements tells us that the mod-$p$ cohomology of a finite group is given by the stable elements of the mod-$p$ cohomology of it's Sylow $p$-subgroup. We prove that for suitable group extensions of $S_p(n,GL)$ and $S_p(n,SL)$ the $E_2$-page of the Lyndon-Hochschild-Serre spectral sequence associated to these extensions does not depend on $n>1$. Finally, we use the theory of fusion systems to describe the ring of stable elements.

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[2] arXiv:2506.04472 (交叉列表自 math.CT) [中文pdf, pdf, html, 其他]

标题： 逆同伦图中的正向推导 显示英文标题

标题： Pushforwards in Inverse Homotopical Diagrams

Chris Kapulkin, Yufeng Li

评论： 12页；欢迎评论

主题： 范畴论 (math.CT) ; 代数拓扑 (math.AT)

我们给出了在纤维范畴中反向图范畴内的同伦逆像范畴在推进运算下闭合的一个充分条件。 显示英文摘要

We establish a sufficient condition for the category of homotopical inverse diagrams to be closed under pushforward inside the category of inverse diagrams in a fibration category.

[3] arXiv:2506.04864 (交叉列表自 math-ph) [中文pdf, pdf, html, 其他]

标题： 科伦-耶特完全扩展了吗？ 显示英文标题

标题： Is Crane--Yetter fully extended?

Luuk Stehouwer

评论： 19页

主题： 数学物理 (math-ph) ; 代数拓扑 (math.AT) ; 范畴论 (math.CT) ; 量子代数 (math.QA)

我们重新探讨了与模张量范畴相关的Crane-Yetter拓扑量子场论（TQFT）是否可以被完全扩展细化的问题。更具体地说，我们利用稳定同伦理论的工具，对可逆四维TQFT向以对称单态4-范畴为值的理论的扩展进行分类，其中Picard谱在度数0和4上有非平凡同伦。 我们证明了这种扩展由两部分数据分类：目标中的一个可逆对象的等价类以及一个六次单位根。 将这一结果应用于辫子融合范畴的4-范畴 $\mathbf{BrFus}$，我们发现存在无穷多个等价类的完全可逆TQFT，它们在顶级流形上重现Crane-Yetter划分函数，这些等价类由非退化辫子融合范畴的Witt群的一个 $\mathbb{Z}/6$-扩张参数化。 这一分析澄清了文献中的常见主张，并提出了如何自然选择框架TQFT上的 $SO(4)$-固定点数据的问题，该TQFT将输入的辫子融合范畴赋值到点上，以便选择Crane-Yetter状态求和。 显示英文摘要

We revisit the question of whether the Crane-Yetter topological quantum field theory (TQFT) associated to a modular tensor category admits a fully extended refinement. More specifically, we use tools from stable homotopy theory to classify extensions of invertible four-dimensional TQFTs to theories valued in symmetric monoidal 4-categories whose Picard spectrum has nontrivial homotopy only in degrees 0 and 4. We show that such extensions are classified by two pieces of data: an equivalence class of an invertible object in the target and a sixth root of unity. Applying this result to the 4-category $\mathbf{BrFus}$ of braided fusion categories, we find that there are infinitely many equivalence classes of fully extended invertible TQFTs reproducing the Crane-Yetter partition function on top-dimensional manifolds, parametrized by a $\mathbb{Z}/6$-extension of the Witt group of nondegenerate braided fusion categories. This analysis clarifies common claims in the literature and raises the question of how to naturally pick out the $SO(4)$-fixed point data on the framed TQFT which assigns the input braided fusion category to the point so that it selects the Crane-Yetter state-sum.

[4] arXiv:2506.05131 (交叉列表自 hep-th) [中文pdf, pdf, html, 其他]

标题： 来自拓扑场论的离散量子系统 显示英文标题

标题： Discrete quantum systems from topological field theory

Daniel S. Freed, Michael J. Hopkins, Constantin Teleman

评论： 19页，23幅图

主题： 高能物理 - 理论 (hep-th) ; 强关联电子 (cond-mat.str-el) ; 数学物理 (math-ph) ; 代数拓扑 (math.AT)

我们介绍了一种利用拓扑场论中的缺陷构建带隙晶格模型的技术。 我们以二维和三维模型为例进行说明，例如陈-西蒙斯理论。 尽管这些模型是局域的，但其态空间不一定是复数上的向量空间的张量积。 哈密顿量是相互交换投影算符的和。 我们还给出了Levin-Wen模型的拓扑场论构造。 显示英文摘要

We introduce a technique to construct gapped lattice models using defects in topological field theory. We illustrate with 2+1 dimensional models, for example Chern-Simons theories. These models are local, though the state space is not necessarily a tensor product of vector spaces over the complex numbers. The Hamiltonian is a sum of commuting projections. We also give a topological field theory construction of Levin-Wen models.

[5] arXiv:2506.05238 (交叉列表自 math.KT) [中文pdf, pdf, 其他]

标题： 关于 bordism 不变量函子的装配映射模型 显示英文标题

标题： A model for the assembly map of bordism-invariant functors

Jordan Levin, Guglielmo Nocera, Victor Saunier

评论： 42页；欢迎评论！

主题： K理论与同调 (math.KT) ; 代数拓扑 (math.AT) ; 范畴论 (math.CT) ; 几何拓扑 (math.GT)

我们研究了稳定范畴、埃尔米特范畴和庞加莱范畴在良好情况下的弱上伴随余极限。 这使我们能够构造庞加莱范畴的边界不变函子的装配映射的一个范畴模型，该函子也是一个维尔迪耶投影，我们明确描述了其核。 作为一个直接应用，我们将卡尔姆斯-多托-哈帕斯-赫贝斯特赖特-兰德-莫伊-纳丁-尼古拉乌斯-斯坦米尔证明的庞加莱范畴的边界不变函子的尚恩森分裂推广到允许扭转的情况。 我们还表明，我们的方法可以处理他们的广义扭转尚恩森分裂的庞加莱-维尔迪耶局部化不变量，这对应于基本稳定范畴的扭转巴斯-赫勒-施万分解，推广了克尔施泰因-克莱默最近工作的部分内容。 显示英文摘要

We study oplax colimits of stable categories, of hermitian categories and of Poincar\'e categories in nice cases. This allows us to produce a categorical model of the assembly map of a bordism-invariant functor of Poincar\'e categories which is also a Verdier projection, whose kernel we explicitly describe. As a direct application, we generalize the Shaneson splitting for bordism-invariant functors of Poincar\'e categories proved by Calm\`es-Dotto-Harpaz-Hebestreit-Land-Moi-Nardin-Nikolaus-Steimle to allow for twists. We also show our methods can tackle their general twisted Shaneson splitting of Poincar\'e-Verdier localizing invariants which specifies to a twisted Bass-Heller-Swan decomposition for the underlying stable categories, generalizing part of recent work of Kirstein-Kremer.

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[6] arXiv:2405.12717 (替换) [中文pdf, pdf, html, 其他]

标题： 关于某些李群和规范群的分类空间的Thom同态的一个注记 显示英文标题

标题： A note on the Thom morphism for the classifying space of certain Lie groups and gauge groups

Eiolf Kaspersen, Gereon Quick

评论： 12页；v3 小修，最终版本将发表在《京都数学期刊》上。

主题： 代数拓扑 (math.AT)

我们给出了除了 E_8 之外，例外李群类空间中哪些非挠生成元不在复配边到整上同调的 Thom 态射的像中。 然后我们证明了对于四维球面上主 E_7-丛的规范群的类空间，Thom 态射不是满射。 我们利用这些结果来检测李群及其类空间中约化 Thom 态射核中的非平凡元素。 显示英文摘要

We give a complete description of which non-torsion generators are not in the image of the Thom morphism from complex cobordism to integral cohomology for the classifying space of exceptional Lie groups except for E_8. We then show that the Thom morphism is not surjective for the classifying space of the gauge group of a principal E_7-bundle over the four-dimensional sphere. We use the results to detect nontrivial elements in the kernel of the reduced Thom morphism for Lie groups and their classifying spaces.

[7] arXiv:2501.12729 (替换) [中文pdf, pdf, html, 其他]

标题： 关于一般次数下秩为4和6的代数转移 显示英文标题

标题： On the algebraic transfers of ranks 4 and 6 at generic degrees

Dang Vo Phuc

评论： 31页。此版本修正了引言中的一个拼写错误，以及定理1.2（第一部分）证明中的几个计算错误，并修正了第二部分中涉及参数$s$和$r$的符号不一致问题。这些更新不影响主要定理的有效性。全文包含完整的利益冲突披露。

期刊参考： 《巴勒莫圆周数学学会会刊》第二系列，第74卷（文章编号 38）：1-33，2025年

主题： 代数拓扑 (math.AT)

令 $\mathscr A$ 表示二元域 $\mathbb Z/2.$ 上的经典单重分次 Steenrod 代数。我们记 $P_k:=\mathbb Z/2[t_1, t_2, \ldots, t_k]$ 为一个多项式代数，由 $k$ 个生成元组成，每个生成元的次数为一。 令 $GL_k$ 为 $\mathbb Z/2.$ 上秩为 $k$ 的一般线性群，则 $P_k$ 是一个 $ \mathscr A[GL_k]$-模。 到目前为止，对于所有同调次数 $k$，Steenrod 代数的上同调群 ${\rm Ext}_{ \mathscr A}^{k, k+\bullet}(\mathbb Z/2, \mathbb Z/2)$ 的结构仍未被清晰理解，也无法完全描述。 在研究这些群时，W. Singer 在 [Math. Z. 202, 493--523 (1989)] 中构造的代数转移起着重要作用。 辛格转移由如下同态表示：$$Tr_k: {\rm Hom}([(\mathbb Z/2\otimes_{ \mathscr A} P_k)_{\bullet}]^{GL_k}, \mathbb Z/2)\longrightarrow {\rm Ext}_{ \mathscr A}^{k, k+\bullet}(\mathbb Z/2, \mathbb Z/2).$$ 辛格的贡献之一是一个有趣的公开猜想，断言对于所有$k.$，$Tr_k$是单射的。 因此，本文的主要目的是确定辛格猜想在某些内部次数族的秩 4 和秩 6 中的有效性。 我们特别强调秩 4 的情况。 更确切地说，当我们验证秩四猜想时，针对某些通用次数情形，我们给出了详细的证明，这些内容在我们之前的工作 [Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A 153, 1529--1542 (2023)] 中简要提及。 显示英文摘要

Let $\mathscr A$ denote the classical singly-graded Steenrod algebra over the binary field $\mathbb Z/2.$ We write $P_k:=\mathbb Z/2[t_1, t_2, \ldots, t_k]$ as the polynomial algebra on $k$ generators, each having a degree of one. Let $GL_k$ be the general linear group of rank $k$ over $\mathbb Z/2.$ Then, $P_k$ is an $ \mathscr A[GL_k]$-module. The structure of the cohomology groups, ${\rm Ext}_{ \mathscr A}^{k, k+\bullet}(\mathbb Z/2, \mathbb Z/2)$, of the Steenrod algebra has, thus far, resisted clear understanding and full description for all homological degrees $k$. In the study of these groups, the algebraic transfer -- constructed by W. Singer in [Math. Z. 202, 493--523 (1989)] -- plays an important role. The Singer transfer is represented by the following homomorphism: $$Tr_k: {\rm Hom}([(\mathbb Z/2\otimes_{ \mathscr A} P_k)_{\bullet}]^{GL_k}, \mathbb Z/2)\longrightarrow {\rm Ext}_{ \mathscr A}^{k, k+\bullet}(\mathbb Z/2, \mathbb Z/2).$$ Among Singer's contributions is an interesting open conjecture asserting the monomorphism of $Tr_k$ for all $k.$ For this reason, our main aim in this article is to ascertain the validity of the Singer conjecture for ranks 4 and 6 in certain families of internal degrees. We place particular emphasis on the rank 4 case. More precisely, we present a detailed proof for certain generic degree cases when verifying the conjecture of rank four, which were succinctly noted in our previous work [Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A 153, 1529--1542 (2023)].

[8] arXiv:2504.03370 (替换) [中文pdf, pdf, html, 其他]

标题： stacks 的等变同调 显示英文标题

标题： Equivariant homology of stacks

Adeel A. Khan

评论： 19页

主题： 代数拓扑 (math.AT) ; 代数几何 (math.AG)

我们利用层论和六操作来定义并研究堆（stacks）的（等变）同调。 这一构造在代数的、复解析的、甚至拓扑的范畴内均成立。 显示英文摘要

We use sheaf theory and the six operations to define and study the (equivariant) homology of stacks. The construction makes sense in the algebraic, complex-analytic, or even topological categories.

[9] arXiv:2506.02971 (替换) [中文pdf, pdf, 其他]

标题： 关于代数转移的四秩Singer猜想的肯定回答 显示英文标题

标题： The affirmative answer to Singer's conjecture on the algebraic transfer of rank four

Dang Vo Phuc

评论： 17页。此版本作为对我们已发表文章的勘误表。它修正了在引用我们之前工作中的已知结果时的一个小错误，该错误出现在等式(2.4)-(2.9)中。这些更正不影响主要定理的陈述或结论。相关论文也已相应更新。论文中提供了利益冲突的全面披露。

期刊参考： 《爱丁堡皇家学会会刊A辑》，第153卷，1529-1542页（2023年）

主题： 代数拓扑 (math.AT) ; 环与代数 (math.RA) ; 表示理论 (math.RT)

近几十年来，关于斯蒂恩罗德环的模2上同调结构$\mathscr A$已成为代数拓扑领域的主要研究课题之一。 早在使用广义线性群的模表示来研究这种上同调的一个尝试中，W.M. Singer 的开创性工作 [Math. Z. 202 (1989), 493-523] 就是其中的里程碑。 在该工作中，Singer 引入了一个同态，通常被称为“代数转移”，它将广义线性群某个表示的余不变量映射到环$\mathscr A.$的模2上同调群。特别是，Singer 的猜想——即代数转移在所有同调度下都是单射——仍然是代数拓扑中一个意义重大且悬而未决的问题。 在本研究中，我们通过证明四阶同调度下的 Singer 猜想成立，朝着解决这一猜想迈出了重要的一步。 显示英文摘要

In recent decades, the structure of the mod-2 cohomology of the Steenrod ring $\mathscr A$ has become a major subject of study in the field of Algebraic Topology. One of the earliest attempts to study this cohomology through the use of modular representations of the general linear groups was the groundbreaking work [Math. Z. 202 (1989), 493-523] by W.M. Singer. In that work, Singer introduced a homomorphism, commonly referred to as the "algebraic transfer," which maps from the coinvariants of a certain representation of the general linear group to the mod-2 cohomology group of the ring $\mathscr A.$ Singer's conjecture, in particular, which states that the algebraic transfer is a monomorphism for all homological degrees, remains a highly significant and unresolved problem in Algebraic Topology. In this research, we take a major stride toward resolving the Singer conjecture by establishing its truth for the homological degree four.

[10] arXiv:2308.02636 (替换) [中文pdf, pdf, html, 其他]

标题： 从拓扑学中学习：大尺度结构的宇宙参数估计 显示英文标题

标题： Learning from Topology: Cosmological Parameter Estimation from the Large-scale Structure

Jacky H. T. Yip, Adam Rouhiainen, Gary Shiu

评论： 7页，4个图。已被科学与机器学习建模研讨会（ICML 2023）接受，并将发表在《机器学习：科学与技术》上。

期刊参考： 2025 机器学习：科学与技术

主题： 宇宙学与非星系天体物理学 (astro-ph.CO) ; 机器学习 (cs.LG) ; 代数拓扑 (math.AT)

宇宙大尺度结构的拓扑包含有关潜在宇宙学参数的有价值信息。尽管持久同调可以提取这种拓扑信息，但从该工具进行参数估计的最佳方法仍然是一个悬而未决的问题。为了解决这个问题，我们提出了一种神经网络模型，将持久图像映射到宇宙学参数。通过参数恢复测试，我们证明我们的模型能够做出准确且精确的估计，明显优于传统的贝叶斯推理方法。 显示英文摘要

The topology of the large-scale structure of the universe contains valuable information on the underlying cosmological parameters. While persistent homology can extract this topological information, the optimal method for parameter estimation from the tool remains an open question. To address this, we propose a neural network model to map persistence images to cosmological parameters. Through a parameter recovery test, we demonstrate that our model makes accurate and precise estimates, considerably outperforming conventional Bayesian inference approaches.

[11] arXiv:2504.20606 (替换) [中文pdf, pdf, html, 其他]

标题： 单圈相对范畴模型单圈 $\infty$-范畴 显示英文标题

标题： Monoidal Relative Categories Model Monoidal $\infty$-Categories

Kensuke Arakawa

评论： 17页，欢迎评论！v2：改进了1.6节的表述。

主题： 范畴论 (math.CT) ; 代数拓扑 (math.AT)

我们证明了相对范畴的同伦理论与$\infty$-范畴的同伦理论等价，同时包括其对称情形。 作为一个应用，我们给出了一个简洁且完整的证明：每个可表化的幺半范畴或可表化的对称幺半范畴$\infty$-范畴都可以由幺半模型范畴或对称幺半模型范畴来表示；其中在幺半情形下，Lurie 曾简要提及，而在对称幺半情形下，则由 Nikolaus--Sagave 完全证明。 显示英文摘要

We show that the homotopy theory of monoidal relative categories is equivalent to that of monoidal $\infty$-categories, as well as its symmetric monoidal version. As an application, we give a concise and complete proof of the fact that every presentably monoidal or presentably symmetric monoidal $\infty$-category is presented by a monoidal or symmetric monoidal model category, which, in the monoidal case, was sketched by Lurie, and in the symmetric monoidal case, was proved by Nikolaus--Sagave.