标题： 算子误差估计用于有界域中椭圆狄利克雷问题的均质化 显示英文标题

标题： Operator error estimates for homogenization of the elliptic dirichlet problem in a bounded domain

摘要： 设 $\mathcal{O} \subset \mathbb{R}^d$ 为一类 $C^2$ 的有界区域。 在希尔伯特空间 $L_2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$ 中，我们考虑一个矩阵椭圆型二阶微分算子 $\mathcal{A}_{D,\varepsilon}$ ，并带有狄利克雷边界条件。 这里 $\varepsilon>0$ 是一个小参数。 该算子的系数是周期性的，并且依赖于 $\mathbf{x}/\varepsilon$。 我们找到算子$\mathcal{A}_{D,\varepsilon}^{-1}$在从$L_2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$到 Sobolev 空间$H^1(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$的算子范数下的近似，误差项为$O(\sqrt{\varepsilon})$。这个近似由算子$(\mathcal{A}^0_D)^{-1}$和一阶校正项的和给出，其中$\mathcal{A}^0_D$是具有常系数和 Dirichlet 边界条件的有效算子。 显示英文摘要

摘要： Let $\mathcal{O} \subset \mathbb{R}^d$ be a bounded domain of class $C^2$. In the Hilbert space $L_2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$, we consider a matrix elliptic second order differential operator $\mathcal{A}_{D,\varepsilon}$ with the Dirichlet boundary condition. Here $\varepsilon>0$ is the small parameter. The coefficients of the operator are periodic and depend on $\mathbf{x}/\varepsilon$. We find approximation of the operator $\mathcal{A}_{D,\varepsilon}^{-1}$ in the norm of operators acting from $L_2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$ to the Sobolev space $H^1(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$ with an error term $O(\sqrt{\varepsilon})$. This approximation is given by the sum of the operator $(\mathcal{A}^0_D)^{-1}$ and the first order corrector, where $\mathcal{A}^0_D$ is the effective operator with constant coefficients and with the Dirichlet boundary condition.