标题： 多重函数的相关性及其应用 显示英文标题

标题： Correlations of multiplicative functions and applications

摘要： 我们给出了一个渐近公式，用于计算相关性 \[ \sum_{n\le x}f_1(P_1(n))f_2(P_2(n))\cdot \dots \cdot f_m(P_m(n))\]，其中 $f\dots,f_m$是有界“伪随机”的乘法函数，在某些自然假设下。 然后我们推导出几个有利的结论：首先，我们刻画了所有偏和有界的乘法函数 $f:\mathbb{N}\to\{-1,+1\}$。这个问题由 Erdős 在 $1957$年提出，以 Tao 的猜想形式回答。 其次，我们证明，如果乘法函数的一阶差商平均值为零，则要么 $f(n)=n^s$对 $\operatorname{Re}(s)<1$成立，要么 $|f(n)|$平均来说较小。这解决了 Kátai 的一个古老猜想。 第三，我们将我们的定理应用于计算$n=a+b$的表示数，其中$a,b$属于$\mathbb{N}.$的某些乘法子集。这为 Brüdern 的结果给出了一个新的“无需圆法”的证明。 显示英文摘要

摘要： We give an asymptotic formula for correlations \[ \sum_{n\le x}f_1(P_1(n))f_2(P_2(n))\cdot \dots \cdot f_m(P_m(n))\] where $f\dots,f_m$ are bounded "pretentious" multiplicative functions, under certain natural hypotheses. We then deduce several desirable consequences:\ First, we characterize all multiplicative functions $f:\mathbb{N}\to\{-1,+1\}$ with bounded partial sums. This answers a question of Erd\H{o}s from $1957$ in the form conjectured by Tao. Second, we show that if the average of the first divided difference of multiplicative function is zero, then either $f(n)=n^s$ for $\operatorname{Re}(s)<1$ or $|f(n)|$ is small on average. This settles an old conjecture of K\'atai. Third, we apply our theorem to count the number of representations of $n=a+b$ where $a,b$ belong to some multiplicative subsets of $\mathbb{N}.$ This gives a new "circle method-free" proof of the result of Br\"udern.