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数学 > 度量几何

arXiv:1607.07428 (math)
[提交于 2016年7月25日 (v1) ,最后修订 2018年9月12日 (此版本, v4)]

标题: Poincaré不等式的分类和RNP可微空间的局部几何

标题: Classifying Poincaré Inequalities and the local geometry of RNP-Differentiability Spaces

Authors:Sylvester Eriksson-Bique
摘要: 我们把完整的RNP可微空间表征为那些在加倍度量测度空间中可测的,满足某些局部$(1, p)$-Poincaré不等式的空间。 这给出了在Cheeger意义下具有强形式可微结构的空间的完整表征,并提供了他对该定理的部分逆定理。 证明基于一种新的“加厚”构造,该构造可用于将子集扩展为具有Poincaré不等式空间。 我们还引入了一种新的定量连通性概念,该概念表征了满足局部Poincaré不等式空间。 这种表征有独立的兴趣,并且在可微空间之外有若干应用。 我们解决了Tapio Rajala关于满足弱Ricci界的一类$MCP(K, n)$-空间是否存在Poincaré不等式的问题。 我们证明通过Muckenhoupt权对测地度量测度空间进行变形会保持具有Poincaré不等式的性质。 最后,新条件使我们能够证明许多弱、Orlicz和非齐次Poincaré不等式“自我改进”为某些$q \in [1,\infty)$的古典$(1, q)$-Poincaré不等式,这与Keith和Zhong关于Poincaré不等式自我改进的定理有关。
摘要: We characterize complete RNP-differentiability spaces as those spaces which are rectifiable in terms of doubling metric measure spaces satisfying some local $(1, p)$-Poincar\'e inequalities. This gives a full characterization of spaces admitting a strong form of a differentiability structure in the sense of Cheeger, and provides a partial converse to his theorem. The proof is based on a new `thickening' construction, which can be used to enlarge subsets into spaces admitting Poincar\'e inequalities. We also introduce a new notion of quantitative connectivity which characterizes spaces satisfying local Poincar\'e inequalities. This characterization is of independent interest, and has several applications separate from differentiability spaces. We resolve a question of Tapio Rajala on the existence of Poincar\'e inequalities for the class of $MCP(K, n)$-spaces which satisfy a weak Ricci-bound. We show that deforming a geodesic metric measure space by Muckenhoupt weights preserves the property of possessing a Poincar\'e inequality. Finally, the new condition allows us to show that many classes of weak, Orlicz and non-homogeneous Poincar\'e inequalities `self-improve' to classical $(1, q)$-Poincar\'e inequalities for some $q \in [1,\infty)$, which is related to Keith's and Zhong's theorem on self-improvement of Poincar\'e inequalities.
评论: 最终接受版本至GAFA
主题: 度量几何 (math.MG)
MSC 类: 30L99, 49Q15, 35A23, 43A85, 51F99, 31E05, 53C23
引用方式: arXiv:1607.07428 [math.MG]
  (或者 arXiv:1607.07428v4 [math.MG] 对于此版本)
  https://doi.org/10.48550/arXiv.1607.07428
通过 DataCite 发表的 arXiv DOI

提交历史

来自: Sylvester Eriksson-Bique [查看电子邮件]
[v1] 星期一, 2016 年 7 月 25 日 19:50:45 UTC (38 KB)
[v2] 星期三, 2016 年 11 月 2 日 18:41:31 UTC (79 KB)
[v3] 星期二, 2017 年 5 月 30 日 13:46:59 UTC (54 KB)
[v4] 星期三, 2018 年 9 月 12 日 18:30:06 UTC (66 KB)
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