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数学 > 数论

arXiv:2001.00028 (math)
[提交于 2019年12月31日 (v1) ,最后修订 2022年10月24日 (此版本, v2)]

标题: 椭圆曲线的循环约简密度

标题: Cyclic reduction densities for elliptic curves

Authors:Francesco Campagna, Peter Stevenhagen
摘要: 对于在数域$K$上定义的椭圆曲线$E$,集合$K$的素数中,使得$E$具有循环约化的素数的启发式密度由包含-排除和$\delta_{E/K}$给出,该和涉及$E$在$K$上的$m$分裂域$K_m$的次数。 这种密度在GRH假设下可以被证明是正确的。 对于没有复乘(CM)的$E$,我们证明$\delta_{E/K}$是一个反映$E$的分裂域有限纠缠的显式非负有理数与一个普遍的无限Artin型积的乘积。 对于在二次阶 ${\mathcal{O}}$上关于 $K$具有CM的 $E$,我们证明 $\delta_{E/K}$在其中也存在类似的“分解”,其中阿廷类型乘积也依赖于 ${\mathcal{O}}$。 对于在 $\bar K$ 上具有CM的 $E$,由一个阶 ${\mathcal{O}}\not\subset K$,这发生在 $K={\bf Q}$,除域在 $K$ 上的纠缠是非有限的。 在这种情况下,我们将$\delta_{E/K}$写成来自$K$的素数的两个贡献之和,这些素数在${\mathcal{O}}$中是分裂的和非分裂的。 分裂的贡献可以用之前的方法处理,非分裂的贡献具有不同的性质。 我们确定密度可以消失的方式,并提供不同类型的密度的数值示例。
摘要: For an elliptic curve $E$ defined over a number field $K$, the heuristic density of the set of primes of $K$ for which $E$ has cyclic reduction is given by an inclusion-exclusion sum $\delta_{E/K}$ involving the degrees of the $m$-division fields $K_m$ of $E$ over $K$. This density can be proved to be correct under assumption of GRH. For $E$ without complex multiplication (CM), we show that $\delta_{E/K}$ is the product of an explicit non-negative rational number reflecting the finite entanglement of the division fields of $E$ and a universal infinite Artin-type product. For $E$ admitting CM over $K$ by a quadratic order ${\mathcal{O}}$, we show that $\delta_{E/K}$ admits a similar `factorization' in which the Artin type product also depends on ${\mathcal{O}}$. For $E$ admitting CM over $\bar K$ by an order ${\mathcal{O}}\not\subset K$, which occurs for $K={\bf Q}$, the entanglement of division fields over $K$ is non-finite. In this case we write $\delta_{E/K}$ as the sum of two contributions coming from the primes of $K$ that are split and inert in ${\mathcal{O}}$. The split contribution can be dealt with by the previous methods, the inert contribution is of a different nature. We determine the ways in which the density can vanish, and provide numerical examples of the different kinds of densities.
评论: 21页;本文扩展了早期的ArXiv预印本2001.00028,包括CM曲线的情况
主题: 数论 (math.NT)
MSC 类: 11G05, 11R45
引用方式: arXiv:2001.00028 [math.NT]
  (或者 arXiv:2001.00028v2 [math.NT] 对于此版本)
  https://doi.org/10.48550/arXiv.2001.00028
通过 DataCite 发表的 arXiv DOI

提交历史

来自: Peter Stevenhagen [查看电子邮件]
[v1] 星期二, 2019 年 12 月 31 日 19:00:06 UTC (16 KB)
[v2] 星期一, 2022 年 10 月 24 日 13:47:33 UTC (27 KB)
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