数学 > 数论
[提交于 2019年12月31日
(v1)
,最后修订 2022年10月24日 (此版本, v2)]
标题: 椭圆曲线的循环约简密度
标题: Cyclic reduction densities for elliptic curves
摘要: 对于在数域$K$上定义的椭圆曲线$E$,集合$K$的素数中,使得$E$具有循环约化的素数的启发式密度由包含-排除和$\delta_{E/K}$给出,该和涉及$E$在$K$上的$m$分裂域$K_m$的次数。 这种密度在GRH假设下可以被证明是正确的。 对于没有复乘(CM)的$E$,我们证明$\delta_{E/K}$是一个反映$E$的分裂域有限纠缠的显式非负有理数与一个普遍的无限Artin型积的乘积。 对于在二次阶 ${\mathcal{O}}$上关于 $K$具有CM的 $E$,我们证明 $\delta_{E/K}$在其中也存在类似的“分解”,其中阿廷类型乘积也依赖于 ${\mathcal{O}}$。 对于在 $\bar K$ 上具有CM的 $E$,由一个阶 ${\mathcal{O}}\not\subset K$,这发生在 $K={\bf Q}$,除域在 $K$ 上的纠缠是非有限的。 在这种情况下,我们将$\delta_{E/K}$写成来自$K$的素数的两个贡献之和,这些素数在${\mathcal{O}}$中是分裂的和非分裂的。 分裂的贡献可以用之前的方法处理,非分裂的贡献具有不同的性质。 我们确定密度可以消失的方式,并提供不同类型的密度的数值示例。
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