标题： $q$-一些与欧拉数相关的超同余式的类似物 显示英文标题

标题： $q$-Analogues of some supercongruences related to Euler numbers

摘要： 设$E_n$为第$n$个欧拉数，$(a)_n=a(a+1)\cdots (a+n-1)$为上升阶乘。 设$p>3$为一个素数。 在2012年，孙证明了$$ \sum^{(p-1)/2}_{k=0}(-1)^k(4k+1)\frac{(\frac{1}{2})_k^3}{k!^3} \equiv p(-1)^{(p-1)/2}+p^3E_{p-3} \pmod{p^4}, $$，这是范哈姆贝关于一个著名超同余的改进。 在2016年，陈、谢和何建立了以下结果：$$ \sum_{k=0}^{p-1}(-1)^k (3k+1)\frac{(\frac{1}{2})_k^3}{k!^3} 2^{3k} \equiv p(-1)^{(p-1)/2}+p^3E_{p-3} \pmod{p^4}, $$，该结果最初由孙提出猜想。 在本文中，我们通过采用$q$-WZ 方法给出了上述两个超同余的$q$-模拟。作为结论，我们提供了 Sun 的以下超同余的$q$-模拟：$$ \sum_{k=0}^{(p-1)/2}\frac{(\frac{1}{2})_k^2}{k!^2} \equiv (-1)^{(p-1)/2}+p^2 E_{p-3} \pmod{p^3}. $$ 显示英文摘要

摘要： Let $E_n$ be the $n$-th Euler number and $(a)_n=a(a+1)\cdots (a+n-1)$ the rising factorial. Let $p>3$ be a prime. In 2012, Sun proved the that $$ \sum^{(p-1)/2}_{k=0}(-1)^k(4k+1)\frac{(\frac{1}{2})_k^3}{k!^3} \equiv p(-1)^{(p-1)/2}+p^3E_{p-3} \pmod{p^4}, $$ which is a refinement of a famous supercongruence of Van Hamme. In 2016, Chen, Xie, and He established the following result: $$ \sum_{k=0}^{p-1}(-1)^k (3k+1)\frac{(\frac{1}{2})_k^3}{k!^3} 2^{3k} \equiv p(-1)^{(p-1)/2}+p^3E_{p-3} \pmod{p^4}, $$ which was originally conjectured by Sun. In this paper we give $q$-analogues of the above two supercongruences by employing the $q$-WZ method. As a conclusion, we provide a $q$-analogue of the following supercongruence of Sun: $$ \sum_{k=0}^{(p-1)/2}\frac{(\frac{1}{2})_k^2}{k!^2} \equiv (-1)^{(p-1)/2}+p^2 E_{p-3} \pmod{p^3}. $$