标题： 关于勒让德符号的行列式 显示英文标题

标题： Determinants concerning Legendre symbols

摘要： 行列式与勒让德符号项的评估与有限域上的字符和有密切关系。 最近，孙提出了关于这一主题的一些猜想。 在本文中，我们证明了孙的一些猜想，并研究了一些变体。 例如，我们证明了以下结果： 设$p=a^2+4b^2$是一个素数，$a,b$是整数，$a\equiv1\pmod4$。 那么对于行列式$$S(1,p):={\rm det}\bigg[\left(\frac{i^2+j^2}{p}\right)\bigg]_{1\le i,j\le \frac{p-1}{2}},$$，数$S(1,p)/a$是一个整数平方，这证实了科恩、孙和维塞米诺夫提出的猜想。 显示英文摘要

摘要： The evaluations of determinants with Legendre symbol entries have close relation with character sums over finite fields. Recently, Sun posed some conjectures on this topic. In this paper, we prove some conjectures of Sun and also study some variants. For example, we show the following result: Let $p=a^2+4b^2$ be a prime with $a,b$ integers and $a\equiv1\pmod4$. Then for the determinant $$S(1,p):={\rm det}\bigg[\left(\frac{i^2+j^2}{p}\right)\bigg]_{1\le i,j\le \frac{p-1}{2}},$$ the number $S(1,p)/a$ is an integral square, which confirms a conjecture posed by Cohen, Sun and Vsemirnov.