数学 > 数论
[提交于 2023年2月1日
(v1)
,最后修订 2023年5月30日 (此版本, v2)]
标题: 埃及分数的逼近与弱贪心算法
标题: Approximation by Egyptian Fractions and the Weak Greedy Algorithm
摘要: 设 $0 < \theta \leqslant 1$。 正整数序列 $(b_n)_{n=1}^\infty$被称为 $\theta$的弱贪心逼近,如果 $\sum_{n=1}^{\infty}1/b_n = \theta$。 我们引入弱贪心逼近算法(WGAA),该算法对于每个$\theta$,生成两个正整数序列$(a_n)$和$(b_n)$,使得 a)$\sum_{n=1}^\infty 1/b_n = \theta$; b)$1/a_{n+1} < \theta - \sum_{i=1}^{n}1/b_i < 1/(a_{n+1}-1)$对所有$n\geqslant 1$; c) 存在$t\geqslant 1$使得$b_n/a_n \leqslant t$无限次发生。 我们随后研究给定的弱贪心逼近$(b_n)$何时可以由 WGAA 产生。 此外,我们证明对于任何非递减的$(a_n)$,其中$a_1\geqslant 2$和$a_n\rightarrow\infty$,存在$\theta$和$(b_n)$使得 a) 和 b) 得以满足;c) 是否也得到满足取决于序列$(a_n)$。 最后,我们讨论$\theta$和$(b_n)$的唯一性,并将我们的框架应用于特定序列。
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