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数学 > 数论

arXiv:2302.01747 (math)
[提交于 2023年2月1日 (v1) ,最后修订 2023年5月30日 (此版本, v2)]

标题: 埃及分数的逼近与弱贪心算法

标题: Approximation by Egyptian Fractions and the Weak Greedy Algorithm

Authors:Hung Viet Chu
摘要: 设 $0 < \theta \leqslant 1$。 正整数序列 $(b_n)_{n=1}^\infty$被称为 $\theta$的弱贪心逼近,如果 $\sum_{n=1}^{\infty}1/b_n = \theta$。 我们引入弱贪心逼近算法(WGAA),该算法对于每个$\theta$,生成两个正整数序列$(a_n)$和$(b_n)$,使得 a)$\sum_{n=1}^\infty 1/b_n = \theta$; b)$1/a_{n+1} < \theta - \sum_{i=1}^{n}1/b_i < 1/(a_{n+1}-1)$对所有$n\geqslant 1$; c) 存在$t\geqslant 1$使得$b_n/a_n \leqslant t$无限次发生。 我们随后研究给定的弱贪心逼近$(b_n)$何时可以由 WGAA 产生。 此外,我们证明对于任何非递减的$(a_n)$,其中$a_1\geqslant 2$和$a_n\rightarrow\infty$,存在$\theta$和$(b_n)$使得 a) 和 b) 得以满足;c) 是否也得到满足取决于序列$(a_n)$。 最后,我们讨论$\theta$和$(b_n)$的唯一性,并将我们的框架应用于特定序列。
摘要: Let $0 < \theta \leqslant 1$. A sequence of positive integers $(b_n)_{n=1}^\infty$ is called a weak greedy approximation of $\theta$ if $\sum_{n=1}^{\infty}1/b_n = \theta$. We introduce the weak greedy approximation algorithm (WGAA), which, for each $\theta$, produces two sequences of positive integers $(a_n)$ and $(b_n)$ such that a) $\sum_{n=1}^\infty 1/b_n = \theta$; b) $1/a_{n+1} < \theta - \sum_{i=1}^{n}1/b_i < 1/(a_{n+1}-1)$ for all $n\geqslant 1$; c) there exists $t\geqslant 1$ such that $b_n/a_n \leqslant t$ infinitely often. We then investigate when a given weak greedy approximation $(b_n)$ can be produced by the WGAA. Furthermore, we show that for any non-decreasing $(a_n)$ with $a_1\geqslant 2$ and $a_n\rightarrow\infty$, there exist $\theta$ and $(b_n)$ such that a) and b) are satisfied; whether c) is also satisfied depends on the sequence $(a_n)$. Finally, we address the uniqueness of $\theta$ and $(b_n)$ and apply our framework to specific sequences.
评论: 14页,即将发表于《Indag. Math. (N.S.)》
主题: 数论 (math.NT)
MSC 类: 11A67, 11B99
引用方式: arXiv:2302.01747 [math.NT]
  (或者 arXiv:2302.01747v2 [math.NT] 对于此版本)
  https://doi.org/10.48550/arXiv.2302.01747
通过 DataCite 发表的 arXiv DOI

提交历史

来自: Hung Viet Chu Mr [查看电子邮件]
[v1] 星期三, 2023 年 2 月 1 日 15:49:14 UTC (10 KB)
[v2] 星期二, 2023 年 5 月 30 日 10:09:16 UTC (10 KB)
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