标题： 加权零和常数 显示英文标题

标题： Smooth weighted zero-sum constants

摘要： 设 $A\subseteq\mathbb Z_n$ 为一个权值集，$S=(x_1,x_2,\ldots, x_k)$ 为 $\mathbb Z_n$ 中的一个序列。 我们说$S$是一个光滑的$A$-加权零和序列，如果存在$(a_1,\ldots,a_k)\in A^k$使得有 $a_1x_1+\cdots+a_kx_k=0$和$a_1+\cdots+a_k=0$。 容易看出，如果 $S$ 是一个光滑的 $A$-加权零和序列，那么对于每个 $y\in \mathbb Z_n$，序列 $S+y=(x_1+y,\ldots,x_k+y)$ 也是一个光滑的 $A$-加权零和序列。 由著名的EGZ定理可知，如果序列$S$的长度至少为$2n-1$，那么$S$存在一个长度为$n$的光滑$A$-加权零和子序列。 常数 $\bar E_A$ 被定义为最小的正整数 $k$，使得在 $\mathbb Z_n$ 中任意长度为 $k$ 的序列都具有长度为 $n$ 的光滑 $A$-加权零和子序列。 长度为$\bar E_A-1$的序列$\mathbb Z_n$中，若不存在任何长度为$n$的光滑的$A$-加权零和子序列，则该序列为$A$的$\bar E$-极值序列。 对于每个$n$，我们考虑权重集$\{1\}$和$\mathbb Z_n\setminus\{0\}$。 当$n$是奇素数$p$时，我们考虑权重集$Q_p$，它是所有非零二次剩余的集合。 我们还研究了相关的常数 $\bar C_A$ 和 $\bar D_A$。 显示英文摘要

摘要： Let $A\subseteq\mathbb Z_n$ be a weight-set and $S=(x_1,x_2,\ldots, x_k)$ be a sequence in $\mathbb Z_n$. We say that $S$ is a smooth $A$-weighted zero-sum sequence if there exists $(a_1,\ldots,a_k)\in A^k$ such that we have $a_1x_1+\cdots+a_kx_k=0$ and $a_1+\cdots+a_k=0$. It is easy to see that if $S$ is a smooth $A$-weighted zero-sum sequence, then for every $y\in \mathbb Z_n$ the sequence $S+y=(x_1+y,\ldots,x_k+y)$ is also a smooth $A$-weighted zero-sum sequence. From the well known EGZ-theorem it follows that if $S$ has length at least $2n-1$, then $S$ has a smooth $A$-weighted zero-sum subsequence of length $n$. The constant $\bar E_A$ is defined to be the smallest positive integer $k$ such that any sequence of length $k$ in $\mathbb Z_n$ has a smooth $A$-weighted zero-sum subsequence of length $n$. A sequence in $\mathbb Z_n$ of length $\bar E_A-1$ which does not have any smooth $A$-weighted zero-sum subsequence of length $n$ is called an $\bar E$-extremal sequence for $A$. For every $n$ we consider the weight-sets $\{1\}$ and $\mathbb Z_n\setminus\{0\}$. When $n$ is an odd prime $p$ we consider the weight-set $Q_p$ of all non-zero quadratic residues. We also study the related constants $\bar C_A$ and $\bar D_A$.