标题： 有限生成实代数的毕达哥拉斯数的有限性 显示英文标题

标题： Finiteness of Pythagoras numbers of finitely generated real algebras

摘要： 在本文中，我们建立两个有限性结果，并提出一个关于有限生成实代数$A$的毕达哥拉斯数$P(A)$的猜想。 设$X \hookrightarrow \mathbb{P}^n$是域$\mathbb{R}$上的整数投影曲面，令$\widetilde{X}$为$X$的规范化，令$s \in \Gamma(X,\mathcal{O}_X(1))$为一个非零截面，使得$\bigl(\widetilde{X}_{s=0}\bigr)^{\mathrm{red}}$是形式实的。我们证明$P\bigl(\Gamma(X_{s\neq 0})\bigr)=\infty$。 作为推论，显示在$\mathbb{R}$上的整数光滑仿射曲线的毕达哥拉斯数是无界的。 对于任何有限生成的$\mathbb{R}$-代数$A$，如果$\mathrm{Spec}(A)$的实点的扎里斯基闭包的维数小于二，我们证明$P(A)<\infty$。 显示英文摘要

摘要： In this paper, we establish two finiteness results and propose a conjecture concerning the Pythagoras number $P(A)$ of a finitely generated real algebra $A$. Let $X \hookrightarrow \mathbb{P}^n$ be an integral projective surface over $\mathbb{R}$, let $\widetilde{X}$ be the normalization of $X$, and let $s \in \Gamma(X,\mathcal{O}_X(1))$ be a nonzero section such that $\bigl(\widetilde{X}_{s=0}\bigr)^{\mathrm{red}}$ is formally real. We prove $P\bigl(\Gamma(X_{s\neq 0})\bigr)=\infty$. As a corollary, the Pythagoras numbers of integral smooth affine curves over $\mathbb{R}$ are shown to be unbounded. For any finitely generated $\mathbb{R}$-algebra $A$, if the Zariski closure of the real points of $\mathrm{Spec}(A)$ has dimension less than two, we demonstrate $P(A)<\infty$.