数学 > 数论
[提交于 2025年5月1日
(v1)
,最后修订 2025年7月1日 (此版本, v2)]
标题: 希尔伯特定理90,周期性,以及阿廷-施赖尔多项式的根
标题: Hilbert's Theorem 90, periodicity, and roots of Artin-Schreier polynomials
摘要: 设 $E/F$ 是次数为 $n$ 的循环域扩张,令 $\sigma$ 生成群 ${\rm Gal}(E/F)$。 如果 ${\rm Tr}^E_F(y)=\sum_{i=0}^{n-1}\sigma^i y=0$,则阿贝尔形式的希尔伯特定理90断言 $y=\sigma x-x$对某个 $x\in E$。 当 $E$ 具有特征 $p>0$ 时,我们证明 $x$ 会生成一个周期序列 $x_0,x_1,\dots$,其周期为 $pn_p$,其中 $n_p$ 是整除 $n$的最大的 $p$-次幂。 我们还证明,如果$y$位于有限域$\mathbb{F}_{p^n}$中,则可约阿廷-谢尔弗多项式$t^p-t-y$的根具有形式$x+u$,其中$u\in\mathbb{F}_p$和$x=\sum_{i=0}^{n-1}\sum_{j=0}^{i-1}z^{p^j}y^{p^i}$对于某个$z\in\mathbb{F}_{p^e}$且$e=n_p$。 此外,序列$\left(\sum_{j=0}^{i-1}z^{p^j}\right)_{i\ge0}$是以$pe$为周期的周期序列。
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