标题： 希尔伯特定理90，周期性，以及阿廷-施赖尔多项式的根 显示英文标题

标题： Hilbert's Theorem 90, periodicity, and roots of Artin-Schreier polynomials

摘要： 设 $E/F$ 是次数为 $n$ 的循环域扩张，令 $\sigma$ 生成群 ${\rm Gal}(E/F)$。 如果 ${\rm Tr}^E_F(y)=\sum_{i=0}^{n-1}\sigma^i y=0$，则阿贝尔形式的希尔伯特定理90断言 $y=\sigma x-x$对某个 $x\in E$。 当 $E$ 具有特征 $p>0$ 时，我们证明 $x$ 会生成一个周期序列 $x_0,x_1,\dots$，其周期为 $pn_p$，其中 $n_p$ 是整除 $n$的最大的 $p$-次幂。 我们还证明，如果$y$位于有限域$\mathbb{F}_{p^n}$中，则可约阿廷-谢尔弗多项式$t^p-t-y$的根具有形式$x+u$，其中$u\in\mathbb{F}_p$和$x=\sum_{i=0}^{n-1}\sum_{j=0}^{i-1}z^{p^j}y^{p^i}$对于某个$z\in\mathbb{F}_{p^e}$且$e=n_p$。 此外，序列$\left(\sum_{j=0}^{i-1}z^{p^j}\right)_{i\ge0}$是以$pe$为周期的周期序列。 显示英文摘要

摘要： Let $E/F$ be a cyclic field extension of degree $n$, and let $\sigma$ generate the group ${\rm Gal}(E/F)$. If ${\rm Tr}^E_F(y)=\sum_{i=0}^{n-1}\sigma^i y=0$, then the additive form of Hilbert's Theorem 90 asserts that $y=\sigma x-x$ for some $x\in E$. When $E$ has characteristic $p>0$ we prove that $x$ gives rise to a periodic sequence $x_0,x_1,\dots$ which has period $pn_p$, where $n_p$ is the largest $p$-power that divides $n$. We also show, if $y$ lies in the finite field $\mathbb{F}_{p^n}$, then the roots of a reducible Artin-Schreier polynomial $t^p-t-y$ have the form $x+u$ where $u\in\mathbb{F}_p$ and $x=\sum_{i=0}^{n-1}\sum_{j=0}^{i-1}z^{p^j}y^{p^i}$ for some $z\in\mathbb{F}_{p^e}$ with $e=n_p$. Furthermore, the sequence $\left(\sum_{j=0}^{i-1}z^{p^j}\right)_{i\ge0}$ is periodic with period $pe$.