标题： 关于环面的第二特征值的改进上界 显示英文标题

标题： An improved upper bound for the second eigenvalue on tori

摘要： 本文研究了在环面$(T,g)$上，Laplace-Beltrami 算子的第二非零特征值$\lambda_2(T,g)$在固定共形类中的所有单位面积度量下的最大化问题。基于 Karpukhin-Stern 和 Eddaoudi-Girouard 的工作，我们给出了环面固定共形类中$\lambda_2(T,g)$的一个显式上界。我们的结果改进了先前基于共形面积的估计，并表明在大多数共形类中，第二特征值严格小于$\frac{8\pi^2}{\sqrt{3}}+8\pi$，支持了 Kao-Lai-Osting 关于此值是所有共形类中$\lambda_2(T,g)$最大值的猜想。 此外，我们给出了所有单位面积度量 $\lambda_2(T,g)< \frac{16\pi^2}{\sqrt{3}}$ 在 $g$ 上的统一上界 $T$。 显示英文摘要

摘要： In this paper, we consider the problem of maximizing the second non-zero eigenvalue $\lambda_2(T,g)$ of the Laplace-Beltrami operator on a torus $(T,g)$, among all unit-area metrics in a fixed conformal class. Based on work by Karpukhin-Stern and Eddaoudi-Girouard, we give an explicit upper bound for $\lambda_2(T,g)$ in a fixed conformal class of the torus. Our bound improves previous estimates based on conformal area and shows that, in the majority of conformal classes, the second eigenvalue is strictly less than $\frac{8\pi^2}{\sqrt{3}}+8\pi$, supporting the conjecture of Kao-Lai-Osting that this value is the supremum of $\lambda_2(T,g)$ over all conformal classes. Moreover, we give the uniform upper bound $\lambda_2(T,g)< \frac{16\pi^2}{\sqrt{3}}$ for all unit-area metrics $g$ on $T$.