标题： 通过拉马努金θ函数的乘积涉及广义三边形、四边形、五边形和八边形数的通用四元混合和 显示英文标题

标题： Universal quaternary mixed sums involving generalized 3-, 4-, 5- and 8-gonal numbers via products of Ramanujan's theta functions

摘要： 广义的$m$边形数是那些$p_m(x)= [ (m - 2)x^2 - (m - 4)x ]/2 $，其中$x$和$m$是整数且$m \geq 3$。 如果任何非负整数都可以表示为$ap_r(h)+bp_s(l)+cp_t(m)+dp_u(n)$的形式，其中$a,b,c,d$是正整数，那么我们称$ap_r(h)+bp_s(l)+cp_t(m)+dp_u(n)$为全纯四元和。 在本文中，我们确定了许多四元和在$r,s,t,u \in \{3,4,5,8\}$时的全纯性，使用了拉马努金theta函数恒等式的理论。 显示英文摘要

摘要： Generalized $m$-gonal numbers are those $p_m(x)= [ (m - 2)x^2 - (m - 4)x ]/2 $ where $x$ and $m$ are integers with $m \geq 3$. If any nonnegative integer can be written in the form $ap_r(h)+bp_s(l)+cp_t(m)+dp_u(n)$, where $a,b,c,d$ are positive integers, then we call $ap_r(h)+bp_s(l)+cp_t(m)+dp_u(n)$ a universal quaternary sum. In this paper, we determine the universality of many quaternary sums when $r,s,t,u \in \{3,4,5,8\}$, using the theory of Ramanujan's theta function identities